By Long Luo

Leetcode 1218. 最长定差子序列 题目如下：

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1218. 最长定差子序列

给你一个整数数组arr和一个整数difference，请你找出并返回arr中最长等差子序列的长度，该子序列中相邻元素之间的差等于difference。

子序列 是指在不改变其余元素顺序的情况下，通过删除一些元素或不删除任何元素而从arr派生出来的序列。

示例 1：
输入：arr = [1,2,3,4], difference = 1
输出：4
解释：最长的等差子序列是[1,2,3,4]。

示例 2：
输入：arr = [1,3,5,7], difference = 1
输出：1
解释：最长的等差子序列是任意单个元素。

示例 3：
输入：arr = [1,5,7,8,5,3,4,2,1], difference = -2
输出：4
解释：最长的等差子序列是[7,5,3,1]。

提示：
1 <= arr.length <= 10^5
-10^4 <= arr[i], difference <= 10^4
 
进阶：你能否实现线性时间复杂度、仅使用额外常数空间的算法解决此问题?

方法一：暴力

思路与算法：

首先想到的是暴力法，在第二个循环中寻找构成等差数列的数字并更新长度，找到最大长度。

代码如下所示：

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public int longestSubsequence(int[] arr, int difference) {
    int len = arr.length;
    int ans = 1;
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        int value = arr[i];
        int cnt = 1;
        for (int j = i + 1; j < len; j++) {
            if (arr[j] == value + difference) {
                cnt++;
                value = arr[j];
            }
        }

        ans = Math.max(ans, cnt);
    }

    return ans;
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(N^2)$ ，其中 $N$ 是数组 $\mathit{\text{nums}}$ 的长度。
• 空间复杂度：$O(1)$。

方法二：动态规划 + 哈希表

思路与算法：

方法一会超时，那么我们需要更好的方法。

能否使用额外的空间来降低时间复杂度，降到 $O(N)$ 呢？

从左往右遍历 $\mathit{\text{arr}}$，并计算出以 $\mathit{\text{arr}}[i]$ 为结尾的最长的等差子序列的长度，更新长度的最大值，即为答案。

令 $\mathit{\text{dp}}[i]$ 表示以 $\mathit{\text{arr}}[i]$ 为结尾的最长的等差子序列的长度，在 $\mathit{\text{arr}}[i]$ 左侧找到满足 $\mathit{\text{arr}}[j]=\mathit{\text{arr}}[i]-d$ 的元素，将 $\mathit{\text{arr}}[i]$ 加到以 $\mathit{\text{arr}}[j]$ 为结尾的最长的等差子序列的末尾，这样可以递推地从 $dp[j]$ 计算出 $dp[i]$。

由于我们是从左往右遍历 $\mathit{\text{arr}}$ 的，对于两个相同的元素，下标较大的元素对应的 $\mathit{\text{dp}}$ 值不会小于下标较小的元素对应的 $\mathit{\text{dp}}$ 值，因此下标 $j$ 可以取满足 $j<i$ 且 $\mathit{\text{arr}}[j]=\mathit{\text{arr}}[i]-d$ 的所有下标的最大值。

故转移方程如下：

$$\mathit{\text{dp}}[i]=\mathit{\text{dp}}[j]+1$$

由于我们总是在左侧找一个最近的等于 $\mathit{\text{arr}}[i]-d$ 元素并取其对应 $\mathit{\text{dp}}$ 值，因此我们直接用 $\mathit{\text{dp}}[v]$ 表示以 $v$ 为结尾的最长的等差子序列的长度，这样 $\mathit{\text{dp}}[v-d]$ 就是我们要找的左侧元素对应的最长的等差子序列的长度，因此转移方程可以改为

$$\mathit{\text{dp}}[v]=\mathit{\text{dp}}[v-d]+1$$

最后答案为 $max\{\mathit{\text{dp}}\}$。

代码如下所示：

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public int longestSubsequence(int[] arr, int difference) {
    int len = arr.length;
    int ans = 1;
    Map<Integer, Integer> dp = new HashMap<>();
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        dp.put(arr[i], dp.getOrDefault(arr[i] - difference, 0) + 1);
        ans = Math.max(ans, dp.get(arr[i]));
    }

    return ans;
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(N)$，其中$N$是数组 $\mathit{\text{nums}}$ 的长度。
• 空间复杂度：$O(N)$，哈希表需要 $O(N)$ 的空间。

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