Long Luo's Life Notes

By Long Luo

在之前的文章里 如何用一根棍子测出地球有多大？复刻埃拉托色尼的春分实验 ，复刻了埃拉托色尼( \(\textit{Eratosthenes}\) ) 的测量地球实验。因为春分时太阳直射赤道，我们只需要测量当地正午时影子即可，然后借助 Google 地图来获取与赤道之间距离，虽然这有点作弊的感觉，最后计算得到了非常精确的结果。

这个实验需要测量经度相同但纬度不同的 \(2\) 个地方的影子数据以及它们之间的距离，根据影子计算 \(A\) 地的纬度 \(\theta_1\) 以及 \(B\) 地的纬度 \(\theta_2\) ，于是可以得到地球半径计算公式：

\[ R_{\textit{earth}} \approx \frac {d}{\theta_1 - \theta_2} \approx \frac {d}{\Delta \theta} \tag{1} \]

如果我们能找到一个经度相差不大的远方朋友帮忙测量当地正午时的影子，然后根据两地的距离就可以很轻松计算地球大小。不过我并没有找到这样一位朋友在正午时测量日影，但我想到了多个方法可以实现这一点。首先在夏至日这天我并不需要这样一位朋友帮忙也可以实现。因为这一天太阳将直射北回归线，我只需要测量我所在地方正午时的影子就可以了。

2026 年 6 月 21 日夏至日，也恰逢端午假期。这里说下题外话，查了最近几年的端午假期，发现端午也就和夏至相隔几天，突然意识到端午最初起源可能就是纪念夏至日，以前都没想到这一点。网上搜了一些文章，发现确实如此，端午确实就是纪念夏至日的。

根据 timeanddate 网站，深圳当地时间正午为 \(12:25\) ，下面图 1 是我拍摄的台阶的影子：

By Long Luo

在之前的文章里，我们分别讲解了 史上最难高考数学题——2008 年江西高考数学压轴题 和 2010年江西高考理科数学压轴题 ，相信大家已经感受到了 陶平生老师 的功力了吧！

那么问题来了：2008 年这么狠，2010 年也不简单，夹在中间的 2009 年呢？

颤抖吧！

今天，我们继续来挑战这道也是出自陶平生老师之手的 2009 年江西高考理科数学压轴题。

这道题表面上是一道数列题，融合了数列、方程、不等式，却隐藏着非常漂亮的数学机关。不过，接下来，我们还是先用中学数学知识来解答这道题，最后我们会从更高观点来看这道题，看陶老师是如何埋藏机关的。

分析

题目很短，但最重要的条件其实就一个方程：

\[ \dfrac {a_m + a_n}{\left( 1 + a_m \right) \left( 1 + a_n \right)} = \dfrac {a_p + a_q}{\left( 1 + a_p \right) \left( 1 + a_q \right)} \tag{1} \]

先根据题设条件及数列初值，求出数列前几项，看能否找到规律。

根据 \(a_1 = \dfrac {1}{2}, \ a_2 = \dfrac {4}{5}\) ，代入方程 (1) ，可得：

\[ \dfrac {1/2 + a_3}{\left( 1 + 1/2 \right) \left( 1 + a_3 \right)} = \dfrac {2 \cdot 4/5}{\left( 1 + 4/5 \right)^2} \]

可以求出 \(a_3 = \dfrac {13}{14}\) 。

继续根据 \(a_3 = \dfrac {13}{14}\) ，则有：

\[ \dfrac {1/2 + a_4}{\left( 1 + 1/2 \right) \left( 1 + a_4 \right)} = \dfrac {4/5 + 13/14}{\left( 1 + 4/5 \right) \left( 1 + 13/14 \right)} \]

可以求出 \(a_4 = \dfrac {40}{41}\) .

由此我们得到了数列的前 \(4\) 项: \(\dfrac {1}{2}, \dfrac {4}{5}, \dfrac {13}{14}, \dfrac {40}{41}\) 。

观察数列前 \(4\) 项，我们能猜测出这个数列的通项公式吗？

By Long Luo

几年前，我在图书馆里闲逛时，在书架里发现了这本书《茶杯里的风暴》，当时阅读了其中几个感兴趣的小节，但并没有全部读完。正如这本书的副标题：用日常之物揭开万物之理，这本书从日常生活入手，带你从生活中随处可见的现象中挖掘物理学的奇妙之处。正如拥有绝对音感的人，听到的所有声音都是音阶 ，而熟悉物理的人则知道日常生活中蕴含的物理知识。具体到刚才的声音，听到声音是耳朵接收到空气分子的振动，振动传入鼓膜，经过放大，最后变成神经信号从而被大脑感知，这其中每一步都蕴含了非常丰富的物理知识。

《茶杯里的风暴》英文原版是《Storm in a Teacup: The Physics of Everyday Life》，作者是英国女物理学家 海伦·切尔斯基( \(\textit{Helen Czerski}\) ) ，她是剑桥大学物理学博士，伦敦大学学院物理学家。

Storm In a Teacup 是英语习语，意思是“小题大做、一场小风波”，但作者又把它重新按照字面意义理解：把不重要的事情看得非常重要。就好像在只有轻微波动的天气情况下，却像遇到了巨大的风暴一样做出反应。

序章

物理定律适用于宇宙任何地方，

地球上的物理学定律适用于宇宙中的任何地方

蝎子

反光外套

对人类来说，荧光现象简直就是免费的午餐；我们本来看不到的紫外线转化成了可以利的可见光，但我们不用付出任何代价。

物体总是倾向于保持原来的运动状态，除非你对它施加外力。你可以用熟鸡蛋和生鸡蛋做个实验，生鸡蛋

人类对世界充满好奇，满足好奇心会带来极大的愉悦。要是能够亲手解开谜题，或者和别人一起走过发现之旅，你还会得到更强的满足感。

世界如此复杂，任何人都不可能完全理解所有细枝末节，但在这条道路上，基本原理是价值连城的宝贵工具，值得你随身携带。

科学不只关乎搜集事实，还涉及解决问题的逻辑推理过程。

柠檬汁会催化水果里的天然果胶，让果酱变得黏稠。而柠檬汁之所以有这种效果，是因为它是酸性的。

By Long Luo

如果你在搜索引擎中搜索“史上最难高考数学题”，大部分链接都会指向 2008 年江西高考理科数学压轴题。和之前文章探讨的 2010年江西高考理科数学压轴题 一样，2008 年江西高考理科数学压轴题同样由 陶平生老师 命制。这道题原型是 CMO2003 第 3 题，陶平生老师对其进行改编。该题难度极高，满分 14 分，当年全省考生无人得满分，平均分仅 0.31 分，史上最低纪录，最高得分 9 分仅一位考生，8 分两位，堪称史上最难压轴题。

虽然这道题的解法已经在很多地方见过，但自己一直没有静下心来完整推导一遍。最近终于亲自动手做了一次，把整个思考和求解过程记录下来，也算是给自己留一份笔记。

分析

对于第一问来说，比较简单，考察求导法则，有一定计算量。

将 \(a = 8\) 代入，可得：

\[ f(x) = \frac{1}{3} + \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \sqrt{\frac{x}{1 + x}} = \frac{1}{3} + \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{1 + x}} \tag{1} \]

求导可得：

\[ f'(x) = \frac {1 - \sqrt{x}}{2 \sqrt {x(1 + x)^{3}}} \tag{2} \]

令 \(f'(x) = 0\) ， \(\dfrac {1 - \sqrt{x}}{2 \sqrt {x(1 + x)^{3}}} = 0\) ，解得 \(x = 1\) 。

1. 当 \(0 < x < 1\) 时， \(f'(x) > 0\) , \(f(x)\) 严格单调递增;
2. 当 \(x > 1\) 时， \(f'(x) < 0\) , \(f(x)\) 严格单调递减。

\(a = 8\) 时 \(f(x)\) 的图像：

By Long Luo

每天清晨，当太阳缓缓升起，第一缕阳光洒向大地，我们便开始感受到它带来的温暖。到了盛夏的中午，炽热的阳光甚至会让人汗流浃背，不得不寻找树荫或空调避暑。从植物进行光合作用，到风、雨和四季的形成，再到地球上几乎所有生命活动所需的能量，都直接或间接来自太阳。可以说，没有太阳，就没有今天丰富多彩的生命世界，这个生机勃勃的星球。

当人类走出蛮荒，开始仰望星空时，一些远古的智者肯定就思考过这样一个问题：这颗挂在天上的大火炉到底有多热？但直到现在，仍然没有人能够把温度计放到太阳表面进行测量。但令人惊讶的是，人类并不需要飞往太阳附近，也不需要把温度计伸到太阳表面，仅凭在地球上的观测数据和几条经典的物理定律，就能够计算出太阳表面的温度约为 \(5770K\)（约 \(5500\,^\circ\mathrm{C}\)）。实际上，计算得到这个数字只需要中学知识，那么这个数字究竟是如何一步步推导出来的呢？接下来，就让我们一起揭开其中的奥秘。

太阳有多热？

科学家早已发现，太阳并不是一个整体均匀的“火球”，而是由不同区域组成的复杂天体，因此各个区域的温度也各不相同。例如，太阳核心的温度高达约 \(1500\) 万摄氏度，在那里持续发生着核聚变反应，释放出巨大的能量；而在太阳大气的最外层——日冕中，温度反而升高到约 \(100\) 万至 \(200\) 万摄氏度，这一现象至今仍是太阳物理学中的重要研究课题。

太阳所产生的巨大能量，正是从这些高温区域向外传递，并最终从太阳表面向宇宙空间辐射出去。地球所接收到的太阳能量，只是其中极其微小的一部分，却足以维持地球上所有生命活动。