Long Luo's Life Notes

By Long Luo

在之前的文章里 如何用一根棍子测出地球有多大？复刻埃拉托色尼的春分实验 ，复刻了埃拉托色尼( \(\textit{Eratosthenes}\) ) 的测量地球实验。因为春分时太阳直射赤道，我们只需要测量当地正午时影子即可，然后借助 Google 地图来获取与赤道之间距离，虽然这有点作弊的感觉，最后计算得到了非常精确的结果。

这个实验需要测量经度相同但纬度不同的 \(2\) 个地方的影子数据以及它们之间的距离，根据影子计算 \(A\) 地的纬度 \(\theta_1\) 以及 \(B\) 地的纬度 \(\theta_2\) ，于是可以得到地球半径计算公式：

\[ R_{\textit{earth}} \approx \frac {d}{\theta_1 - \theta_2} \approx \frac {d}{\Delta \theta} \tag{1} \]

如果我们能找到一个经度相差不大的远方朋友帮忙测量当地正午时的影子，然后根据两地的距离就可以很轻松计算地球大小。不过我并没有找到这样一位朋友在正午时测量日影，但我想到了多个方法可以实现这一点。首先在夏至日这天我并不需要这样一位朋友帮忙也可以实现。因为这一天太阳将直射北回归线，我只需要测量我所在地方正午时的影子就可以了。

2026 年 6 月 21 日夏至日，也恰逢端午假期。这里说下题外话，查了最近几年的端午假期，发现端午也就和夏至相隔几天，突然意识到端午最初起源可能就是纪念夏至日，以前都没想到这一点。网上搜了一些文章，发现确实如此，端午确实就是纪念夏至日的。

根据 timeanddate 网站，深圳当地时间正午为 \(12:25\) ，下面图 1 是我拍摄的台阶的影子：

By Long Luo

如果你在搜索引擎中搜索“史上最难高考数学题”，大部分链接都会指向 2008 年江西高考理科数学压轴题。和之前文章探讨的 2010年江西高考理科数学压轴题 一样，2008 年江西高考理科数学压轴题同样由 陶平生老师 命制。这道题原型是 CMO2003 第 3 题，陶平生老师对其进行改编。该题难度极高，满分 14 分，当年全省考生无人得满分，平均分仅 0.31 分，史上最低纪录，最高得分 9 分仅一位考生，8 分两位，堪称史上最难压轴题。

虽然这道题的解法已经在很多地方见过，但自己一直没有静下心来完整推导一遍。最近终于亲自动手做了一次，把整个思考和求解过程记录下来，也算是给自己留一份笔记。

分析

对于第一问来说，比较简单，考察求导法则，有一定计算量。

将 \(a = 8\) 代入，可得：

\[ f(x) = \frac{1}{3} + \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \sqrt{\frac{x}{1 + x}} = \frac{1}{3} + \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{1 + x}} \]

求导可得：

\[ f'(x) = \frac {1 - \sqrt{x}}{2 \sqrt {x(1 + x)^{3}}} \]

令 \(f'(x) = 0\) ， \(\dfrac {1 - \sqrt{x}}{2 \sqrt {x(1 + x)^{3}}} = 0\) ，解得 \(x = 1\) 。

• 当 \(0 < x < 1\) 时， \(f'(x) > 0\) , \(f(x)\) 严格单调递增;
• 当 \(x > 1\) 时， \(f'(x) < 0\) , \(f(x)\) 严格单调递减。

\(a = 8\) 时 \(f(x)\) 的图像：

By Long Luo

每天清晨，当太阳缓缓升起，第一缕阳光洒向大地，我们便开始感受到它带来的温暖。到了盛夏的中午，炽热的阳光甚至会让人汗流浃背，不得不寻找树荫或空调避暑。从植物进行光合作用，到风、雨和四季的形成，再到地球上几乎所有生命活动所需的能量，都直接或间接来自太阳。可以说，没有太阳，就没有今天丰富多彩的生命世界，这个生机勃勃的星球。

当人类走出蛮荒，开始仰望星空时，一些远古的智者肯定就思考过这样一个问题：这颗挂在天上的大火炉到底有多热？但直到现在，仍然没有人能够把温度计放到太阳表面进行测量。但令人惊讶的是，人类并不需要飞往太阳附近，也不需要把温度计伸到太阳表面，仅凭在地球上的观测数据和几条经典的物理定律，就能够计算出太阳表面的温度约为 \(5770K\)（约 \(5500\,^\circ\mathrm{C}\)）。实际上，计算得到这个数字只需要中学知识，那么这个数字究竟是如何一步步推导出来的呢？接下来，就让我们一起揭开其中的奥秘。

太阳有多热？

科学家早已发现，太阳并不是一个整体均匀的“火球”，而是由不同区域组成的复杂天体，因此各个区域的温度也各不相同。例如，太阳核心的温度高达约 \(1500\) 万摄氏度，在那里持续发生着核聚变反应，释放出巨大的能量；而在太阳大气的最外层——日冕中，温度反而升高到约 \(100\) 万至 \(200\) 万摄氏度，这一现象至今仍是太阳物理学中的重要研究课题。

太阳所产生的巨大能量，正是从这些高温区域向外传递，并最终从太阳表面向宇宙空间辐射出去。地球所接收到的太阳能量，只是其中极其微小的一部分，却足以维持地球上所有生命活动。

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日本生物学家本川达雄( Tatsuo Motokawa )写的书 《大象的时间，老鼠的时间》 几年前我曾经在书店的畅销书里看到过，是一本很有趣的书，解答了我心中很多关于生物的疑问。书不厚，在书店里就读完了几章，后来去图书馆借来看完了剩下几章。最近又重新翻阅了这本书，这次做下读书笔记。

第一章 动物的体型和时间

在不同体型的动物身上感觉到时间的流逝是不一样的，比如狗的寿命是 12 年。但对于他的心率、呼吸、对时间流逝的感知度的角度来看，他们仿佛也度过了漫长的一生。

哺乳动物的时间与体重的 1/4 次方成正比。

每1次呼吸间隔，心跳会跳4次。

不管哪种哺乳动物，一生的心跳，大约都是20亿次，一生的呼吸则是5亿次。

第二章 动物的体型和进化

“岛屿法则”指的是在岛屿上，大型动物有变小的趋势，小型动物有变大的趋势，这在古生物学中被称为岛屿法则。

对于这种法则，很大的体型也需要很大的摄入量，在岛屿这种，捕食压力变小的情况下，大象就没有必要为了变大而勉强支撑。同样的，老鼠也变大了，回到了作为哺乳动物最轻松的体型。

还是先回到变大策略的好处上来吧。

柯普法则：同一物种的进化过程中，体型大的种类有晚出现的趋势。

体型大的优势：

1. 不易受环境影响能保持独立。体型越大，越容易保持恒温。恒温有利于动物体内生化反应的稳定发生。

2. 恒温还能确保恒时，比如鸟儿要保持一个体温，才能够快速的移动。也就是说，当体温变化时间在生物身上的流逝，也是会发生变化的。如果温度忽高忽低，在低温状态移动会减慢，就等于时间的流速也慢了。就跟看视频的时候卡了一样。

3. 体型越大，恒温所需的能量越少。也因为表面积体积比例越小而更耐干旱。

4. 体型越大的动物细胞数量越多，因此就能够把多余的部分用于新机能的开发。细胞代谢率也相对更低，能量更富余，所以大型动物有条件来充分的发展智能。挺新月大的动物进食，时间见个月长，也有更充裕的时间来从事其他活动。

体型小的优势:

1. 越小越容易发生变异寿命，短数量多，短时间内产生变异的概率大。
2. 移动能力弱，从地理上与附近的其他种群保持隔离，产生新集团而独自发展的机会就更多。
3. 个体越小生存压力越大，能适应才能活下来，所以抗逆性会更高。
4. 小型动物水不断被捕时，死亡率高君个体多而不断产生新物种，因此有很大概率能留下后代。

这里又开始出现辩证的哲思了。大型动物不易受微小环境变化影响，更长寿，这本来是优势，但是这种稳定性现在又成了障碍，使得这一种群很难产生新的物种，而且大型动物数量少，一旦遇到了超越承受边界的环境压力，有可能还没来得及苟活变异，直接就整灭绝了。

By Long Luo

我出生在长江中下游的一个小山村，村子背后是一座小山，村子前面有一条小河，它在村子前面转了个大弯。

它没有乱石穿空的激流险滩，也没有飞流直下的瀑布，随着地势弯弯曲曲的小河，就是一条在很小很小的小河。说它是河又不能称之为河，因为它太小、太窄了，最宽处也就不过5，6米左右，远没有河的宽广和波澜壮阔。在南方，它是条普通到不能再普通的河，普通到没有名字，乡里四邻约定俗称的都称它为小港。

我小时候不知道港字是哪个字，后来才知道就是“港”字，而字典里“港”有“小河、小沟、小水道”的意思。之所以叫小港，因为还有条更大的小河叫大港，小港最终汇入到了大港。

如果小港在穿城而过或者在北方，我想它肯定会被赋予一个很好听的名字，但在农村，像小港这样的小河实在是太多了，多到每个镇都可能有好几条，所以我们都叫小港或者大港。