Long Luo's Life Notes

By Long Luo

在之前的文章里 如何用一根棍子测出地球有多大？复刻埃拉托色尼的春分实验 ，复刻了埃拉托色尼( \(\textit{Eratosthenes}\) ) 的测量地球实验。因为春分时太阳直射赤道，我们只需要测量当地正午时影子即可，然后借助 Google 地图来获取与赤道之间距离，虽然这有点作弊的感觉，最后计算得到了非常精确的结果。

这个实验需要测量经度相同但纬度不同的 \(2\) 个地方的影子数据以及它们之间的距离，根据影子计算 \(A\) 地的纬度 \(\theta_1\) 以及 \(B\) 地的纬度 \(\theta_2\) ，于是可以得到地球半径计算公式：

\[ R_{\textit{earth}} \approx \frac {d}{\theta_1 - \theta_2} \approx \frac {d}{\Delta \theta} \tag{1} \]

如果我们能找到一个经度相差不大的远方朋友帮忙测量当地正午时的影子，然后根据两地的距离就可以很轻松计算地球大小。不过我并没有找到这样一位朋友在正午时测量日影，但我想到了多个方法可以实现这一点。首先在夏至日这天我并不需要这样一位朋友帮忙也可以实现。因为这一天太阳将直射北回归线，我只需要测量我所在地方正午时的影子就可以了。

2026 年 6 月 21 日夏至日，也恰逢端午假期。这里说下题外话，查了最近几年的端午假期，发现端午也就和夏至相隔几天，突然意识到端午最初起源可能就是纪念夏至日，以前都没想到这一点。网上搜了一些文章，发现确实如此，端午确实就是纪念夏至日的。

根据 timeanddate 网站，深圳当地时间正午为 \(12:25\) ，下面图 1 是我拍摄的台阶的影子：

By Long Luo

日本生物学家本川达雄( Tatsuo Motokawa )写的书 《大象的时间，老鼠的时间》 几年前我曾经在书店的畅销书里看到过，是一本很有趣的书，解答了我心中很多关于生物的疑问。书不厚，在书店里就读完了几章，后来去图书馆借来看完了剩下几章。最近又重新翻阅了这本书，这次做下读书笔记。

第一章 动物的体型和时间

在不同体型的动物身上感觉到时间的流逝是不一样的，比如狗的寿命是 12 年。但对于他的心率、呼吸、对时间流逝的感知度的角度来看，他们仿佛也度过了漫长的一生。

哺乳动物的时间与体重的 1/4 次方成正比。

每1次呼吸间隔，心跳会跳4次。

不管哪种哺乳动物，一生的心跳，大约都是20亿次，一生的呼吸则是5亿次。

第二章 动物的体型和进化

“岛屿法则”指的是在岛屿上，大型动物有变小的趋势，小型动物有变大的趋势，这在古生物学中被称为岛屿法则。

对于这种法则，很大的体型也需要很大的摄入量，在岛屿这种，捕食压力变小的情况下，大象就没有必要为了变大而勉强支撑。同样的，老鼠也变大了，回到了作为哺乳动物最轻松的体型。

还是先回到变大策略的好处上来吧。

柯普法则：同一物种的进化过程中，体型大的种类有晚出现的趋势。

体型大的优势：

1. 不易受环境影响能保持独立。体型越大，越容易保持恒温。恒温有利于动物体内生化反应的稳定发生。

2. 恒温还能确保恒时，比如鸟儿要保持一个体温，才能够快速的移动。也就是说，当体温变化时间在生物身上的流逝，也是会发生变化的。如果温度忽高忽低，在低温状态移动会减慢，就等于时间的流速也慢了。就跟看视频的时候卡了一样。

3. 体型越大，恒温所需的能量越少。也因为表面积体积比例越小而更耐干旱。

4. 体型越大的动物细胞数量越多，因此就能够把多余的部分用于新机能的开发。细胞代谢率也相对更低，能量更富余，所以大型动物有条件来充分的发展智能。挺新月大的动物进食，时间见个月长，也有更充裕的时间来从事其他活动。

体型小的优势:

1. 越小越容易发生变异寿命，短数量多，短时间内产生变异的概率大。
2. 移动能力弱，从地理上与附近的其他种群保持隔离，产生新集团而独自发展的机会就更多。
3. 个体越小生存压力越大，能适应才能活下来，所以抗逆性会更高。
4. 小型动物水不断被捕时，死亡率高君个体多而不断产生新物种，因此有很大概率能留下后代。

这里又开始出现辩证的哲思了。大型动物不易受微小环境变化影响，更长寿，这本来是优势，但是这种稳定性现在又成了障碍，使得这一种群很难产生新的物种，而且大型动物数量少，一旦遇到了超越承受边界的环境压力，有可能还没来得及苟活变异，直接就整灭绝了。

By Long Luo

我出生在长江中下游的一个小山村，村子背后是一座小山，村子前面有一条小河，它在村子前面转了个大弯。

它没有乱石穿空的激流险滩，也没有飞流直下的瀑布，随着地势弯弯曲曲的小河，就是一条在很小很小的小河。说它是河又不能称之为河，因为它太小、太窄了，最宽处也就不过5，6米左右，远没有河的宽广和波澜壮阔。在南方，它是条普通到不能再普通的河，普通到没有名字，乡里四邻约定俗称的都称它为小港。

我小时候不知道港字是哪个字，后来才知道就是“港”字，而字典里“港”有“小河、小沟、小水道”的意思。之所以叫小港，因为还有条更大的小河叫大港，小港最终汇入到了大港。

如果小港在穿城而过或者在北方，我想它肯定会被赋予一个很好听的名字，但在农村，像小港这样的小河实在是太多了，多到每个镇都可能有好几条，所以我们都叫小港或者大港。

By Long Luo

天似穹庐，笼盖四野。仰望天空，头顶的苍穹如同一顶巨大的圆盖，将万物尽数笼罩；而脚下的大地辽阔无垠，行走其上却难见边界。在漫长的历史中，“天圆地方”的观念显得那样自然：天空是弯曲的，土地是平坦的。毕竟，对古人而言，大地实在太大了，大到穷尽一生也难以走到尽头，很难获知大地到底是什么样的形状。

我们脚下的大地是个球

在遥远的地中海彼岸，生活在古希腊的思想家们却通过观察到很多自然现象开始怀疑直觉，认识到其实大地并非平坦，而是一个巨大的球体。

公元前600年前后，古希腊哲学家毕达哥拉斯( \(\textit{Pythagoras}\) )从美学观念出发，认为宇宙一定是和谐的、简单的，宇宙中所有天体的形状和它们的运动轨道都应该是完美的。他认为，一切立体图形中最美的是球形，因为球面上的任何一点离球心的距离都相等，所以天体一定是球形的，太阳、月亮是球形的，恒心天球是球形的，大地也一定是球形的 ¹ 。

古希腊著名哲学家亚里多士德( \(\textit{Aristotle}\) )则提供了多个物理证据说明了地球是圆的：远去的帆船逐渐消失在地平线下，桅杆是最后消失的；当我们朝北或朝南运动时，所看到的星空是不相同的，例如越往北，北极星在天空的高度就越高；发生月食时，地球在月亮上的阴影是圆的。

如果大地真是一个球，那么一个不可回避的问题便随之而来：这个球究竟有多大？它的周长是多少？在没有卫星、没有望远镜的时代，这似乎是一个无解的难题。

埃拉托色尼的最美实验

几乎每一本讲述科学史的书都会讲述埃拉托色尼( \(\textit{Eratosthenes}\) ) ² 测量地球实验。他仅凭阳光与影子，便完成了人类历史上第一次对地球大小的测量，这个实验也被评为世界最美实验之一 ³。

埃拉托斯特尼（公元前 276 —— 195 年）是亚历山大图书馆的馆长，也是古代最伟大的思想家之一，不仅博学多才，还是一位杰出的数学家和天文学家。不幸的是，亚历山大图书馆后来毁于战火，他的大部分著作也随之失传，但幸运的是，他用棍子的阴影计算地球大小的优雅方法得以保存。

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2007 年江苏高考数学卷第 20 题是一道颇具代表性的数列综合题。题目将等差数列与等比数列联系在一起，通过两列数的公共项建立方程关系，并逐步挖掘出数列背后的代数结构。

第一问利用公共项条件证明一个看似巧合的求和结论；第二问进一步由特殊项关系推出公比必须为整数，并证明整个等比数列都嵌入在等差数列之中；而最有趣的是第三问，当我们研究等比数列中何时会出现三项成等差数列时，竟然会得到一个十分熟悉的特殊数 —— 黄金分割数。

解答这道题不依赖复杂的技巧，只需要按照题目条件找到关系，列好方程即可。下面按照题目的三个小问，逐步分析其证明过程。