By Long Luo

最近在书店里看到一本 《数学的奥秘》 ，原著是 《The Secret Life of Equations: The 50 Greatest Equations and How They Work》 ，讲的是最伟大的数学方程式起源、构成、含义和应用。书的内容并不多，我看了其中的一部分，里面有讲 墨卡托投影( \(\textit{Mercator projection}\) )¹ 。

我对地理和地图一直很感兴趣，但之前对原理一直一知半解的，只知道我们常见的地图都是墨卡托投影，由墨卡托( \(\textit{Gerardus Mercator}\) )² 在 1569年创立。但墨卡托投影的原理是什么却并不清楚。书里面只有几页，但具体公式缺乏说明及推导过程，所以这几天通过查找资料掌握了墨卡托投影的原理。

如何绘制地图？

在大航海时代，航海家可以通过六分仪和观察日月星辰获取到经纬度，但在茫茫大海中迷失方向是很可怕的事情，如何才能正确的航行到目的地呢？

地球由于自转是一个两极比赤道略短的扁球体，但扁率约为 \(\dfrac {1}{300}\) ，非常之低，因为可以视为球体。因为球面不是可展曲面，也就是如果展成平面的话，长度会发生形变，所以也会形变。因为根据高斯绝妙定理 ( \(\textit{Theorema Egregium}\) )³ ，平面的高斯曲率为 \(0\) ，而球面的高斯曲率为 \(\dfrac {1}{R^2}\) ，其中 \(R\) 为球面半径，所以在保持图形完整性前提下，将球面转化为平面，投影后得到的经纬线网形状必然会产生变形，也就是说，在投影的过程中，变形是必然存在的。

在这种情况下，墨卡托运用等角圆柱投影法绘制了航海图，极大地方便了航海家。有了墨卡托海图，航海家想要到达某个目的地，只需要在出发点和目的地之间连一条直线，量出这条航线和经线的夹角，按照航行路线就能到达目的地。

什么是墨卡托投影？

设想将地球置于在一中空的圆柱里，如下图所示，其基准纬线（赤道）与圆柱相切。再设想地球中心处放置一灯泡，那么从球心处发射的光线会把球面上的图形投影到圆柱体上，之后再将把圆柱体展开，那么就可以得到一张墨卡托投影绘制出的地图。

By Long Luo

PID 算法 s是自动控制领域中很重要的算法。

\[ u(t) = K_Pe(t) + K_I \int e(t) \mathrm{d}t + K_D \frac{\mathrm{d}e(t)}{\mathrm{d}t} \]

Simple PID Controller

非常简单的 PID 算法在线互动式模拟器，传送门 → ：

之前这个是 PID v1.0 版本，最近重构了代码，增加了一些新功能：

1. 增加机器人速度 \(v\) 及加速度 \(a\) 显示；
2. 增加 2 个图表展示 PID X 轴方向及 Y 轴方向的 P、I、D \(3\) 个分量随时间变化显示；
3. 之前代码将时间及速度固定了，但这不符合实际，增加随 \(dt\) 变化积分和微分项；

By Long Luo

Kalman Filter¹ 是贝叶斯滤波器的一种特殊实现。

Kalman Filter 1D | 一维卡尔曼滤波器

一维卡尔曼滤波器如下图所示：

在线动画展示：http://www.longluo.me/projects/kalman/

By Long Luo

在数学、物理学、工程和计算机领域中，泰勒级数( \(\textit{Taylor Series}\) )¹ 是一种广泛使用的分析方法，用来计算函数的近似值。在实践中，很多函数非常复杂，而且某些函数是不可积的，想求其某点的值，直接求无法实现。

泰勒公式可以将复杂的函数近似地表达为简单的多项式函数，用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像)。注意在逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。

下图所示就是不同项数的泰勒公式对 \(\sin x\) 的逼近：

泰勒级数的定义为：

\[ f(x) = \sum _{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n} = f(a) + {\frac {f'(a)}{1!}}(x - a) + {\frac {f''(a)}{2!}}(x - a)^{2} + {\frac {f'''(a)}{3!}}(x - a)^{3} + \cdots \]

这里， \(n!\) 表示 \(n\) 的阶乘，而 \(f^{(n)}(a)\) 表示函数 \(f\) 在点 \(a\) 处的 \(n\) 阶导数。如果 \(a = 0\) ，这个级数也被称为麦克劳林级数( \(\textit{Maclaurin series}\) )² 。

泰勒展开式有很多，那么如何记忆呢？首先我们需要明白，泰勒公式之间都是有相互关联的，我们可以通过推导来理解性记忆这些公式。泰勒公式的具体推导过程可以参考数学分析教材或者网络³ 。

下面我们就推导这些公式，以便更好的记忆⁴ ！

几何级数 Geometric series

对于 \(-1 < x < 1\) 的情况，几何级数( \(\textit{Geometric series}\) )⁵ 由等比数列求和公式可得：

\[ \frac{1}{1 - x} = \sum _{n=0}^{\infty}x^{n} = 1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} \]

用 \(-x\) 代入 \(x\) 上式，则：

\[ \frac{1}{1 + x} = \sum _{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{n} = 1 - x + x^{2} - x^3 + \cdots + (-1)^n x^{n} \]

用 \(x^2\) 替代 \(x\) , 由于 \(\arctan x = \int_{0}^{x} \dfrac{1}{1 + x^2} \mathrm{d}x\) ，对于 \(-1 \le x \le 1, x \neq \pm i\) ，

\[ \arctan x = \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n + 1}}x^{2n + 1} = x - {\frac {x^3}{3}} + {\frac {x^5}{5}} - \cdots + \frac{(-1)^n}{2n + 1}x^{2n + 1} \]

因为 \(\dfrac {1}{(1 - x)^2} = (\dfrac {1}{1 - x})'\) ，则：

\[ \begin{aligned} \frac {1}{(1 - x)^2} & = \sum _{n=1}^{\infty }n x^{n-1} \\ & = 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + n x^{n-1} \end{aligned} \]

同 \(\dfrac {1}{(1 - x)^3} = \dfrac {1}{2} (\dfrac {1}{(1 - x)^2})'\) ，则有：

\[ \frac {1}{(1 - x)^3} = \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {n(n - 1)}{2}}x^{n - 2} \]

指数函数 Exponent function

由于 \(\dfrac {\mathrm{d} e^x}{\mathrm{d} x} = e^x\) ，\(e^0 = 1\) 那么：

\[ e^x = \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^n}{n!}} = 1 + x + {\frac {x^2}{2!}} + {\frac {x^3}{3!}} + \cdots + {\frac {x^n}{n!}} \]

很明显：

\[ \begin{aligned} (e^x)' &= (\frac {1}{0!} + \frac {x}{1!} + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \cdots)' \\ e^x &= 0 + 1 + \frac {x}{1} + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} \cdots \\ &= 1 + x + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \cdots \end{aligned} \]

对于普通指数函数 \(a^x\) , 由于 \(a^x=e^{x \ln a}\) ，如果将 \(x\) 换为 \(x \ln a\) ，那么 \(a^x\) 的泰勒展开式：

\[ \begin{aligned} a^x &= e^{x \ln a} \\ &= 1 + x \ln a + \frac {(x \ln a)^2}{2!} + \frac {(x \ln a)^3}{3!} + \cdots + \frac {(x \ln a)^n}{n!} \\ \end{aligned} \]

By Long Luo

昨天在B站看到一个数学视频¹ ，比较 \(2^{100!}\) 和 \(2^{100}!\) 的大小。直观感受就是这 \(2\) 个数都非常非常大，但哪个更大无法一眼看出来。

虽然指数爆炸，但阶乘实际上增长的速度比指数更快，如下图 1 所示：

可以看出阶乘图像 \(y = x!\) 实际上比指数 \(y = e^x\) 要快很多，而 \(y = x^x\) 是最快的。

但具体哪个更大呢？

这个问题有很多种方法，这里展示了4种方法。

对数放缩法

由于对数² 函数 \(y = \log_{a}{b}\) 当 \(a > 1\) 是单调递增函数，所以比较两个数大小时，可以通过比较两者对数值来实现大小比较。

两边同取对数 \(\log_{2}{x}\) ，

左边：

\[ A = \log_{2}{(2^{100!})} = 100! \]

右边：

\[ B = \log_{2}{2^{100}!}= \log_{2}{2^{100}} + \log_{2}{(2^{100} - 1)} + \dots + 1 + 0 \]

共有 \(2^{100}\) 项，值从 \(0\) 到 \(\log_{2}{2^{100}} = 100\) ，所以

\[ B < 100 \cdot 2^{100} < 128 \cdot 2^{100} = 2^7 \cdot 2^{100} = 2^{107} \]

综合上式，我们只需要比较 \(100!\) 和 \(2^{107}\) 的大小即可。

\(100!\) 至少有 \((100 - 64 + 1) = 37\) 项是大于等于 \(64 = 2^6\) ，也就是 \((2^6)^{37}=2^{222}\) 。

显然可得 \(100! \gg 2^{222} \gg 2^{107}\) 。

故有虽然两个数都非常大，但 \(2^{100!}\) 仍然远远大于 \(2^{100}!\) 。

斯特林公式 (Stirling’s Approximation)

由于存在阶乘，我们可以使用斯特林公式(Stirling’s Approximation)³ 来估计。

\[ n! \sim \sqrt{2 \pi n}(\frac{n}{e})^n = \sqrt{2 \pi} n^{\frac{n + 1}{2}}e^{-n} \]

两边同取对数：

\[ \ln{n!} \sim \frac{1}{2} ln(2 \pi) + (n+\frac{1}{2}) ln(n) - n \]

根据上式，可见 \(n\) 足够大时，斯特林公式可以近似为：

\[ \ln(n!) \sim n(ln(n) - 1) \]

则有：

\[ \begin{array}{l} A = ln(2^{100!}) = 100! ln(2) \\ B = ln(2^{100}!) \sim 2^{100}(ln(2^{100}) - 1) = 2^{100}(100 ln(2) - 1) \end{array} \]

由于 \(2^{10} = 1024 \approx 10^3\) ，则有 \(2^{100} \approx 10^{30}\) , 那么 \(B \approx 10^{32} ln(2)\) 。

很明显 \(100! \gg 10^{32}\) ，因此

\[ 2^{100!} \gg 2^{100}! \]