By Long Luo

目前汽车上的汽油发动机热效率为 \(30\%\) 左右，柴油机热效率要高点，可以达到 \(40\%\) ，而电动机的效率可以达到 \(90\%\) ，部分甚至可以达到 \(95\%\) 。为什么燃油发动机会比电动机效率低这么多呢？原因有很多方面，主要是因为电动机直接将电能直接转换为机械能，结构简单，中间环节损耗很少，相比之下燃油发动机存在多个能量转化环节，结构复杂，损耗很多。但是假如我们忽略燃油发动机的任何损耗，燃油发动机的效率可以到多高呢？可以达到 \(100\%\) 吗？我曾经以为是，但后来发现不是，而要回答这个问题，让我们先从水流开始。

水轮机

把手放进流动的水中，我们可以明显感觉到水流的冲击力，水流越大越快，冲击力也就越大。人类很早就意识到了流水中蕴藏的能量，并用流水来驱动水车，用于灌溉、磨坊等，下图 1 所示为位于比利时一家磨坊的水车。水车虽好，但需要稳定的水流，旱季时水力不足，运转乏力甚至无法运行，如何才能一年四季不因雨量不同而影响水车运转呢？

答案很明显，修水坝，在雨季时把富余的水存储在高处，这样旱季时也能保证水车的正常运转。这一策略一直沿用了几千年，到现在无非就是大坝修得更高更好，水车换成了水轮机，驱动磨坊变成了发电而已。水在高处时，具有重力势能越大，但如果我们在高山湖泊中放置一台水车时，水车是不会转动的，因为湖泊中的水并不一定在流动，即使在流动，流速也很小，并不足以驱动水轮机。

只有当水从高处流向低处时，势能才能转化为动能，推动水轮机从而进行机械作功，实现能量的转化与利用。

从上图也可以看出，驱动水车的关键在于水的流动，而不在于水的多少。高山湖泊的水虽然重力势能很大，而且数量巨大，但是除非这些水从高处流下，否则并不能对外做功。

蒸汽机的诞生

虽然水车在历史上曾是重要的动力来源，能够替代部分人力或畜力，但它的局限性也十分明显。首先，水车只能安装在水流充足且地形适宜的地方，无法随意移动，限制了其适用范围。其次，它高度依赖稳定的水流，水流过快可能损坏结构，过慢则无法提供足够的动力。此外，水车的动力输出有限，难以满足高负荷需求，尤其是在工业化发展的背景下显得尤为不足。

随着人类生产力的提高，对更强大、更稳定的动力源的需求日益迫切。依靠人力、畜力以及水力的传统方式已难以支撑生产的发展。在这样的背景下，蒸汽机( \(\textit{Steam Engine}\) ) ¹ 应运而生，为人类提供了强大且可控的动力，推动了工业革命的进程，它的出现彻底改变了人类社会的生产方式，标志着人类正式迈入蒸汽时代，从而拉开了现代工业的序幕。

1712 年，托马斯·纽科门( \(\textit{Thomas Newcomen}\) ) 发明了第一台实用蒸汽机，被称为纽卡门蒸汽机 ²，其原理如下图 4 所示。这种蒸汽机主要用于矿井排水，它的工作原理是利用蒸汽推动活塞上升，然后向汽缸内喷射冷水使蒸汽冷凝，形成真空，依靠大气压力推动活塞下行，从而带动水泵运行。这种蒸汽机可以有效解决矿井排水问题，但能耗极高，热效率不到 \(1\%\) 。

在大约 50 年后的 1769 年，詹姆斯·瓦特( \(\textit{James Watt}\) )在研究纽卡门蒸汽机时，分析发现气缸每次循环中大约有四分之三的蒸汽热量被白白浪费，而且由于每次循环都向气缸内喷入冷水而不能连续工作。 于是他单独设计了一个冷凝装置，将蒸汽冷凝过程与汽缸加热分离，这样就不需要让汽缸的温度降到常温再重新加热，减少能量损失，大幅提升了蒸汽机的效率。瓦特蒸汽机 ³ 如下图5所示，其热效率是纽卡门蒸汽机的 \(3\) 倍，达到了 \(3\%\) 。

\(3\%\) 的效率仍然非常低下，这意味着 \(97\%\) 的燃料都白白浪费了，工程师们尝试了各种方法来提高蒸汽机的热效率，比如用酒精替代水、改进材料、优化结构或调整操作等方法。但这些方法主要依赖经验，缺乏系统性的理论指导，往往是通过反复试验和逐步改进来提高性能，而缺乏对蒸汽机工作原理的深入理解。因此，人们迫切希望找到更深层次的原理，揭示热能如何高效转换为机械能，从而在理论上指导蒸汽机的优化设计，并为未来热机的发展提供科学依据。

如何提高蒸汽机的效率？

1824 年，一位年轻的法国工程师卡诺 ( \(\textit{Sadi Carnot}\) ) ⁴试图回答有关热机的两个问题：“热机效率是否有上限？”和“是否有其他一些更理想的工作液体或气体取代蒸汽来加热引擎？”，他意识到，要回答这些问题，必须从热的本质和能量转换的规律入手。在卡诺发表他的著作《论火的动力》的 1824 年，当时流行的是热质说，认为热是一种物质，物体的冷热由物体所含热质的多少决定，热质会在不同温度的物体间流动。这时构成热力学 ⁵ 大厦的热力学第一定律⁶ 和热力学第二定律 ⁷ 都未建立。

即便如此，卡诺却抓住了热机的本质：热机是否工作关键在于热质在工作介质之中的流动。当然卡诺这个想法来源于他的父亲，卡诺父亲拉扎尔·卡诺( \(\textit{Lazare Carnot}\) )是当时法国著名的数学家和工程师，深入研究过水轮机及如何提升水轮机效率。在第一章中我们知道水轮机的关键在于水的流动，只有水流动起来才能驱动水轮机运转。类比到热机，那就需要让热质流动起来，而显然需要温度差才能让热质流动起来。

卡诺设想了一种理想化的热机模型( \(\textit{Heat Engine}\) ) ⁸ ，即卡诺热机( \(\textit{Carnot Heat Engine}\) ) ⁹，用以分析热机的最大可能效率，而与具体工作物质无关。热质从高温热源传递到工作系统中，一部分通过做功转化为机械能，另一部分传到低温热源，构成卡诺循环( \(\textit{Carnot Cycle}\) ) ¹⁰ 。

卡诺循环

卡诺将理想热机抽象成这样一个简化模型：理想气体被封闭在一个可移动活塞的气缸中，活塞与气缸内壁可以没有摩擦地来回移动，活塞和气缸都是绝热的，在气缸外有一个恒温的高温热源 \(T_H\) 和一个恒温的低温热源 \(T_C\) 。

卡诺热机运行在一个封闭的卡诺循环( \(\textit{Carnot Cycle}\) )内，在循环中理想气体依次经过恒温可逆膨胀，绝热可逆膨胀，恒温可逆压缩，绝热可逆压缩四步 ¹¹ ，从状态一恢复到状态一，用 PV 图绘制出来如下图 6 所示：

下面我们来一一分析这 \(4\) 个步骤：

等温可逆膨胀

第一步中( \(A \to B\) )理想气体在温度 \(T_H\) 下的等温可逆膨胀，如下图 7 所示：

此步骤中气体温度不变，内能不变 $U = 0 $ ，对外气体膨胀，通过从高温热源吸收热能 \(Q_H\) 并对外做功：

\[ \Delta U = Q_1 + W_1 = 0 \]

根据理想气体状态方程，则有：

\[ W_1 = \int_{1}^{2} - PdV = -nRT_H \int_1^2 \frac{dV}V \]

计算得：

\[ W_1 = -nRT_H \ln {\frac{V_2}{V_1}} = -Q_1 \]

绝热可逆膨胀

第二步中( \(B \to C\) )脱离高温热源，与外界无热量交换，理想气体在绝热情况下可逆膨胀，如下图 8 所示：

在此步骤中，理想气体继续膨胀，对外做功，并失去等量的内能，温度降低至冷源温度 \(T_C\) ，则有：

\[ Q_2 = 0 \]

气体不与外界交换热量，内能变化全部转化为对外做功：

\[ \Delta U = Q_2 + W_2 = C_v \Delta T = C_v(T_C - T_H) \]

这里 \(C_v\) 表示定容热容（恒定体积下的比热容）。

等温可逆压缩

第三步中( \(C \to D\) )中理想气体与低温热源接触，发生等温可逆压缩，如下图 9 所示：

在此步骤中，由于温度保持恒定，气体内能不变 $U = 0 $ ，外界对气体做功全部转化为热量 \(Q_C\) ，并传递给冷源：

\[ \Delta U = Q_3 + W_3 = 0 \]

则有：

\[ W_3 = -Q_3 = -nRT_C \ln {\frac {V_4}{V_3}} \]

绝热可逆压缩

第四步中( \(D \to A\) )中理想气体离开低温热源，发生等温可逆压缩，如下图 10 所示：

在这一步中，气体与外界无热交换，但外界对气体做功，使气体的温度和压力上升，最终温度回到高温热源温度 \(T_H\) ，此时气体处于与步骤 \(A\) 时相同的状态，有：

\[ Q_4 = 0 \]

外界做功全部转化为气体内能增加：

\[ W_4 = C_v (T_H - T_C) \]

卡诺热机效率

根据热机效率定义，我们可以得出卡诺热机效率的表达式：

\[ \eta = \frac {\left| W \right|}{Q} = \frac {-(W_1 + W_2 + W_3 + W_4)}{Q_1} = \frac {Q_1 + Q_3}{Q_1} \]

之前的计算中，功是对于热机系统来说，热机对环境做功为负。但在热机效率计算中，热机对外做功才是环境得到的功除以热机得到的热量即为热机效率。

根据理想气体绝热可逆过程 ¹²：

\[ \begin{aligned} P^{1 - \gamma }T^{\gamma } & = \text{constant} \\ TV^{\gamma -1} & = \text{constant} \end{aligned} \]

我们有：

\[ \begin{aligned} T_1V_2^{\gamma-1} & = T_2V_3^{\gamma-1} \\ T_1V_1^{\gamma-1} & = T_2V_4^{\gamma-1} \end{aligned} \]

两式相比得到下式：

\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{V_4}{V_3} \]

带入到效率的表达式中：

\[ \eta = \frac{Q_1 + Q_3}{Q_1} = \frac{T_H \ln \frac{V_2}{V_1} + T_C \ln \frac{V_4}{V_3}}{T_H \ln \frac{V_2}{V_1}} = 1 - \frac {T_C}{T_H} \]

从上式中我们可以得到卡诺热机效率仅取决于两个热源的温度，而与具体的工作介质无关。

卡诺定理

从卡诺循环我们可以得到卡诺定理 ( \(\textit{Carnot's Theorem}\) ) ¹³ ：

1. 所有不可逆的热机，其热效率会比使用相同高温和低温热源的卡诺热机要低。
2. 所有可逆的热机，其热效率会等于相同高温和低温热源的卡诺热机。

下面我们来简单证明下，证明使用反证法：

上一章中我们知道热机的最大热效率 \(\eta\) （热机产生的功和高温热源提供能量的比值）为：

\[ \eta _{\text{max}} = \eta _{\text{Carnot}} = 1 - \frac {T_C}{T_H} \]

假设存在一不可逆热机，其热源为 \(T_C\) 及 \(T_H\) ，其热效率更高，设为 \(\eta_M\) ，将此热机和一个效率为 \(\eta_L\) 的可逆卡诺热机，如下图 11 的方式组合成一个热力学循环，不可逆热机产生的功为可逆卡诺热机的工作来源。

• 若 \(\eta_M = \eta_L\) ，则此热力学循环对系统没有任何影响，与不可逆性矛盾，因此不成立。
• 若 \(\eta_M > \eta_L\) ，则此热力学循环可从低温热源 \(T_C\) 取出

\[ \Delta Q = \eta Q \left( {\frac {1}{\eta_L}} - 1 \right) - (1 - \eta_M )Q = Q \left( {\frac {\eta_M }{\eta_L }} - 1 \right) > 0 \]

的能量，将此能量释放到高温热源 \(T_H\) ，且不引起其他变化，而这与热力学第二定律相违背，所以不成立。

因此 \(\eta_M < \eta_L\) ，不可逆热机的效率 \(\eta\) 较卡诺热机的效率 \(\eta_{\text{Carnot}}\) 低。

总结

曹泽贤老师说热力学原理可以总结为一句大白话：不以做功为目的的传热都是浪费 ¹⁴。自然界中先有水的流动，人类只是在流动的水中安装水轮机，为我们所工作，同样先有热量自发从高温热源传递到低温热源，我们发明了热机，让其为我们工作。

参考文献