By Long Luo

Leetcode 441. 排列硬币 的题解，有4种解决方法，前3种比较容易想到，位运算 比较难想到。

方法一：暴力

思路和算法

模拟硬币排列过程，从 \(ans = 1\) 开始，逐行 \(ans + 1\)，当硬币不足排列当前行时退出，注意返回时需要 $ ans - 1$，因为在排列完上一行时已经 \(+1\) 了，返回时需要 \(-1\)。

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// BF O(sqrtn) O(1)
public int arrangeCoins_bf(int n) {
	int ans = 1;
	while (n >= ans) {
		n -= ans;
		ans++;
	}

	return ans - 1;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(\sqrt{n})\)，因为总行数一定不超过 \(2(\sqrt{n}+1)\)。
• 空间复杂度：\(O(1)\)。

方法二：二分查找

思路和算法

第 \(i\) 行必须有 \(i\) 个硬币（最后一行除外），总行数的增加所需要的硬币数是单调递增的，到第 \(i\) 行时总共使用的硬币数量为 \(total = \frac{i \times (i + 1)}{2}\)，我们的目标是寻找一个 \(i\) 使得 \(total \leq n\)，可以利用二分加速在 \(1\) 到 \(\dfrac{n + 1}{2}\) 之间查找。

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// BS O(logn) O(1)
public int arrangeCoins_bs(int n) {
	long left = 1;
	long right = ((long) n + 1) / 2;
	while (left < right) {
		long mid = left + (right - left + 1) / 2;
		long sum = mid * (mid + 1) / 2;
		if (sum <= n) {
			left = mid;
		} else {
			right = mid - 1;
		}
	}

	return (int) left;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(logn)\)。
• 空间复杂度：\(O(1)\)。

方法三：数学

思路和算法

第 \(x\) 行放满一共可以得到 \(\frac{(x + 1) \times x}{2}\) 个硬币，则有：

\[ \frac{(x + 1) \times x}{2} = n \]

整理得一元二次方程

\[ x^2 + x - 2n = 0 \]

因为 \(n \ge 1\)，所以判别式

\[ \Delta = b^2 - 4ac = 8n + 1 > 0 \]

解得 \(x_1 = \frac{-1 - \sqrt{8n + 1}}{2}\)，\(x_2 = \frac{-1 + \sqrt{8n + 1}}{2}\)

\(x_1 < 0\)，舍去不用，\(x_2\) 即为硬币可以排列成的行数。

因为需要可以完整排列的行数，所以需要向下取整。

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// Math O(1) O(1)
public int arrangeCoins_math(int n) {
	int val = (int) (Math.sqrt((long) 8 * n + 1) - 1);
	return val / 2;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(1)\)。
• 空间复杂度：\(O(1)\)。

方法四：位运算

思路与算法：

1. 因为 \(1 \leq n \leq 2^{31} - 1\)，那么最长的数是 \(31\) 位，显然 \(sqrt(2^{31} - 1) = log(sqrt(2^{31} - 1)) = 16\)，也就是说答案最长也不会超过 \(16\) 位；
2. 创建一个 \(mask\)，第\(15\)位设为 \(1\)，其余为 \(0\)；
3. 先依次给 \(ans\) 按位从高到低设 \(1\)，检查 \(ans \times (ans + 1) > n\)，\(ans = 0\)；
4. \(mask\) 依次右移，直至 \(0\)，即为我们的答案。

代码如下所示：

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// Bit O(1) O(1)
public static int arrangeCoins_bit(int n) {
    int mask = 1 << 15;
    long ans = 0;
    while (mask > 0) {
        ans |= mask;
        if (ans * (ans + 1) / 2 > n) {
            ans ^= mask;
        }
        mask >>= 1;
    }

    return (int) ans;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(1)\)。
• 空间复杂度：\(O(1)\)。

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