[Leetcode][29. 两数相除] 3种方法：暴力法，二分搜索，递归
By Long Luo
Leetcode 29. 两数相除 题目如下：1
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2229. 两数相除
给定两个整数，被除数`dividend`和除数`divisor`。将两数相除，要求不使用乘法、除法和`mod`运算符。
返回被除数`dividend`除以除数`divisor`得到的商。
整数除法的结果应当截去（truncate）其小数部分，例如：truncate(8.345) = 8 以及 truncate(-2.7335) = -2
示例 1:
输入: dividend = 10, divisor = 3
输出: 3
解释: 10/3 = truncate(3.33333..) = truncate(3) = 3
示例 2:
输入: dividend = 7, divisor = -3
输出: -2
解释: 7/-3 = truncate(-2.33333..) = -2
提示：
被除数和除数均为$32$位有符号整数。
除数不为$0$。
假设我们的环境只能存储 $32$ 位有符号整数，其数值范围是 [-2^31, 2^31-1]。本题中，如果除法结果溢出，则返回2^31-1。
方法一：暴力法
思路与算法：
因为题目要求不能使用乘法、除法和mod运算符，那么首先想到的是只能使用加减法了。
因为除法就是看被除数能让多少个除数相加，因为被除数和除数均为 \(32\) 位有符号整数，存在溢出的可能，所以我们首先进行类型转换，转换成 \(\textit{Long}\) 型进行处理。
代码如下所示：1
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30public int divide(int dividend, int divisor) {
if (dividend == 0) {
return 0;
}
long dividendLong = dividend;
long divisorLong = divisor;
boolean sign = false;
if (dividendLong < 0 && divisorLong < 0) {
dividendLong = -dividendLong;
divisorLong = -divisorLong;
} else if (dividendLong < 0 && divisorLong > 0) {
sign = true;
dividendLong = -dividendLong;
} else if (dividendLong > 0 && divisorLong < 0) {
sign = true;
divisorLong = -divisorLong;
}
long ans = 0;
while (dividendLong >= divisorLong) {
dividendLong -= divisorLong;
ans++;
}
ans = sign ? -ans : ans;
return ans > Integer.MAX_VALUE ? Integer.MAX_VALUE : (int) ans;
}
毫无疑问，超时了！
卡在了这个 -2147483648 1 测试用例上，那么我们针对这些边界值进行处理：1
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44public int divide(int dividend, int divisor) {
if (divisor == Integer.MIN_VALUE) {
return dividend == Integer.MIN_VALUE ? 1 : 0;
}
if (dividend == Integer.MIN_VALUE) {
if (divisor == 1) {
return dividend;
} else if (divisor == -1) {
return Integer.MAX_VALUE;
}
} else if (dividend == Integer.MAX_VALUE) {
if (divisor == 1) {
return dividend;
} else if (divisor == -1) {
return -dividend;
}
}
long dividendLong = dividend;
long divisorLong = divisor;
boolean sign = false;
if (dividendLong < 0 && divisorLong < 0) {
dividendLong = -dividendLong;
divisorLong = -divisorLong;
} else if (dividendLong < 0 && divisorLong > 0) {
sign = true;
dividendLong = -dividendLong;
} else if (dividendLong > 0 && divisorLong < 0) {
sign = true;
divisorLong = -divisorLong;
}
long ans = 0;
while (dividendLong >= divisorLong) {
dividendLong -= divisorLong;
ans++;
}
ans = sign ? -ans : ans;
return ans > Integer.MAX_VALUE ? Integer.MAX_VALUE : (int) ans;
}
因为针对性处理了，所以上述代码 AC 了！
因为题目规定了“只能存储 \(32\) 位整数”，所以代码中都不能使用任何 \(64\) 位整数。
如果除法结果溢出，那么我们需要返回 \(2^{31}-1\) 作为答案。因此我们可以首先对于溢出或者容易出错的边界情况进行讨论：
- 当被除数为 \(32\) 位有符号整数的最小值 \(-2^{31}\) 时：
- 如果除数为 \(1\)，那么我们可以直接返回答案 \(-2^{31}\)；
- 如果除数为 \(-1\)，那么答案为 \(2^{31}\)，产生了溢出。此时我们需要返回 \(2^{31}-1\)。
- 当除数为 \(32\) 位有符号整数的最小值 \(-2^{31}\) 时：
- 如果被除数同样为 \(-2^{31}\)，那么我们可以直接返回答案 \(1\)；
- 对于其余的情况，我们返回答案 \(0\)。
- 当被除数为 \(0\) 时，我们可以直接返回答案 \(0\)。
对于一般的情况，根据除数和被除数的符号，我们需要考虑 \(4\) 种不同的可能性。因此，为了方便编码，我们可以将被除数或者除数取相反数，使得它们符号相同。
如果我们将被除数和除数都变为正数，那么可能会导致溢出。例如当被除数为 \(-2^{31}\) 时，它的相反数 \(2^{31}\) 产生了溢出。因此，我们可以考虑将被除数和除数都变为负数，这样就不会有溢出的问题，在编码时只需要考虑 \(1\) 种情况了。
如果我们将被除数和除数的其中（恰好）一个变为了正数，那么在返回答案之前，我们需要对答案也取相反数。
代码如下所示：1
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37public int divide(int dividend, int divisor) {
if (dividend == Integer.MIN_VALUE) {
if (divisor == 1) {
return dividend;
} else if (divisor == -1) {
return Integer.MAX_VALUE;
} else if (divisor == Integer.MIN_VALUE) {
return 1;
}
} else if (dividend == Integer.MAX_VALUE) {
if (divisor == 1) {
return dividend;
} else if (divisor == -1) {
return -dividend;
}
}
int ans = 0;
boolean sign = true;
if (dividend > 0 && divisor > 0) {
dividend = -dividend;
sign = false;
} else if (dividend > 0 && divisor < 0) {
dividend = -dividend;
divisor = -divisor;
} else if (dividend < 0 && divisor < 0) {
sign = false;
divisor = -divisor;
}
while (dividend + divisor <= 0) {
dividend += divisor;
ans++;
}
return sign ? -ans : ans;
}
注意需要增加对 -2147483648 -2147483648 测试用例进行特殊处理，否则会出现超时，因为 -2147483648 取反还是 -2147483648，会出现死循环！
复杂度分析：
时间复杂度：\(O(X/Y)\)，其中 \(X\) 是被除数，\(Y\) 是除数。
空间复杂度：\(O(1)\)。
方法二：二分查找
思路与算法：
参考 Illustration of Fast Power Algorithm - Exponentiation by Squaring or Binary Exponentiation ，实现一个类似 \(\texttt{quickMul}\) 的 \(\texttt{quickAdd}\) 方法。
不考虑溢出情况，设被除数为 \(X\)，除数为 \(Y\)，\(X \gt 0 Y \gt 0\)，那么结果 \(Z = X/Y, 0 \le Z \le X\)。
根据除法以及余数的定义，我们可以将其改成乘法的等价形式，即：
\[ Z \times Y \le X < (Z+1) \times Y \]
因此可以使用二分查找在 \([0, X]\) 中寻找答案，每次循环都可以排除一半。
代码如下所示：1
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52public int divide(int dividend, int divisor) {
long x = dividend;
long y = divisor;
boolean sign = false;
if ((x > 0 && y < 0) || (x < 0 && y > 0)) {
sign = true;
}
if (x < 0) {
x = -x;
}
if (y < 0) {
y = -y;
}
long left = 0;
long right = x;
while (left < right) {
long mid = (left + right + 1) >> 1;
long result = quickAdd(y, mid);
if (result <= x) {
left = mid;
} else {
right = mid - 1;
}
}
long ans = sign ? -left : left;
if (ans > Integer.MAX_VALUE || ans < Integer.MIN_VALUE) {
return Integer.MAX_VALUE;
}
return (int) ans;
}
public long quickAdd(long x, long y) {
long ans = 0;
while (y > 0) {
if ((y & 0x01) == 1) {
ans += x;
}
x += x;
y = y >> 1;
}
return ans;
}
上述代码是需要转换成 long 型进行处理，但题目要求只能使用 \(32\) 位整数，所以我们需要将 \(X\) 和 \(Y\) 转换成负数进行处理，和之前公式不同的是：
\[ Z \times Y \ge X > (Z+1) \times Y, 0 \le Z < X \]
使用二分查找找到最大的 \(Z\) 使得 \(Z \times Y \geq X\) 成立。
细节
二分查找的下界为 \(0\)，上界为 \(2^{31} - 1\)。唯一可能出现的答案为 \(2^{31}\) 的情况已经进行了特殊处理，因此答案的最大值为 \(2^{31} - 1\)。如果二分查找失败，那么答案一定为 \(0\)。
较大的 \(Z\) 也会导致加法运算溢出。例如要判断 \(A + B\) 是否小于 \(C\) 时（其中 \(A, B, C\) 均为负数），\(A + B\) 可能会产生溢出，因此必须将判断改为 \(A < C - B\) 是否成立。由于任意两个负数的差一定在 \([-2^{31} + 1, 2^{31} - 1]\) 范围内，这样就不会产生溢出。
代码如下所示：1
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49public int divide(int dividend, int divisor) {
if (divisor == Integer.MIN_VALUE) {
return dividend == Integer.MIN_VALUE ? 1 : 0;
}
if (dividend == 0) {
return 0;
}
if (dividend == Integer.MIN_VALUE) {
if (divisor == 1) {
return Integer.MIN_VALUE;
} else if (divisor == -1) {
return Integer.MAX_VALUE;
}
}
boolean sign = false;
if ((dividend > 0 && divisor < 0) || (dividend < 0 && divisor > 0)) {
sign = true;
}
if (dividend > 0) {
dividend = -dividend;
}
if (divisor > 0) {
divisor = -divisor;
}
int MAX = Integer.MIN_VALUE >> 1;
int ans = 0;
// dividend became negative
while (dividend <= divisor) {
int temp = divisor;
int step = -1;
while (temp >= MAX && step >= MAX && temp >= dividend - temp) {
temp += temp;
step += step;
}
dividend -= temp;
ans += step;
}
return sign ? ans : -ans;
}
复杂度分析：
时间复杂度：\(O(logx \times logy)\)，二分查找的次数为 \(O(logx)\)，其中的每一步我们都需要 \(O(logy)\) 使用「快速乘」算法判断 \(Z \times Y \ge X\) 是否成立，因此总时间复杂度为 \(O(\log^2 C)\)。
空间复杂度：\(O(1)\)。
方法三：递归
思路与算法：
细节
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51public int divide(int dividend, int divisor) {
if (divisor == Integer.MIN_VALUE) {
return dividend == Integer.MIN_VALUE ? 1 : 0;
}
if (dividend == 0) {
return 0;
}
if (dividend == Integer.MIN_VALUE) {
if (divisor == 1) {
return Integer.MIN_VALUE;
} else if (divisor == -1) {
return Integer.MAX_VALUE;
}
}
long x = dividend;
long y = divisor;
boolean sign = false;
if ((x > 0 && y < 0) || (x < 0 && y > 0)) {
sign = true;
}
x = x > 0 ? x : -x;
y = y > 0 ? y : -y;
long ans = div(x, y);
if (ans > Integer.MAX_VALUE || ans < Integer.MIN_VALUE) {
return Integer.MAX_VALUE;
}
return (int) (sign ? -ans : ans);
}
public long div(long dividend, long divisor) {
if (dividend < divisor) {
return 0;
}
long ans = 1;
long temp = divisor;
while ((temp + temp) <= dividend) {
ans = ans << 1;
temp = temp << 1;
}
return ans + div(dividend - temp, divisor);
}
复杂度分析：
时间复杂度：\(O(logx \times logy)\)，二分查找的次数为 \(O(logx)\)，其中的每一步我们都需要 \(O(logy)\) 使用「快速乘」算法判断 \(Z \times Y \geq X\) 是否成立，因此总时间复杂度为 \(O(\log^2 C)\)。
空间复杂度：\(O(1)\)。
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