[LeetCode][18. 四数之和] 4种方法：暴力，双指针，DFS，HashMap
By Long Luo
方法一：暴力枚举
思路与算法：
和 15. 三数之和 类似，我们先对数组进行排序，然后 \(4\) 层循环即可。
由于结果肯定会出现重复的数字，所以我们使用 \(\texttt{Set}\) 来去重，代码如下所示：1
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22public List<List<Integer>> fourSum(int[] nums, int target) {
if (nums == null || nums.length < 4) {
return new ArrayList<>();
}
Arrays.sort(nums);
int n = nums.length;
Set<List<Integer>> ans = new HashSet<>();
for (int first = 0; first < n - 3; first++) {
for (int second = first + 1; second < n - 2; second++) {
for (int third = second + 1; third < n - 1; third++) {
for (int fourth = third + 1; fourth < n; fourth++) {
if (nums[first] + nums[second] + nums[third] + nums[fourth] == target) {
ans.add(Arrays.asList(nums[first], nums[second], nums[third], nums[fourth]));
}
}
}
}
}
return new ArrayList<>(ans);
}
我们可以在每次循环中增加判断，防止出现重复四元组，使用 \(\texttt{List}\)：1
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62public List<List<Integer>> fourSum(int[] nums, int target) {
if (nums == null || nums.length < 4) {
return new ArrayList<>();
}
Arrays.sort(nums);
int len = nums.length;
List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < len - 3; i++) {
if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1]) {
continue;
}
if ((long)nums[i] + nums[i + 1] + nums[i + 2] + nums[i + 3] > target) {
break;
}
if ((long)nums[i] + nums[len - 3] + nums[len - 2] + nums[len - 1] < target ) {
continue;
}
for (int j = i + 1; j < len - 2; j++) {
if (j > i + 1 && nums[j] == nums[j - 1]) {
continue;
}
if ((long)nums[i] + nums[j] + nums[j + 1] + nums[j + 2] > target) {
break;
}
if ((long)nums[i] + nums[j] + nums[len - 2] + nums[len - 1] < target) {
continue;
}
for (int k = j + 1; k < len - 1; k++) {
if (k > j + 1 && nums[k] == nums[k - 1]) {
continue;
}
if ((long)nums[i] + nums[j] + nums[k] + nums[k + 1] > target) {
break;
}
if ((long)nums[i] + nums[j] + nums[k] + nums[len - 1] < target) {
continue;
}
for (int l = k + 1; l < len; l++) {
if (l > k + 1 && nums[l] == nums[l - 1]) {
continue;
}
if (nums[i] + nums[j] + nums[k] + nums[l] == target) {
ans.add(Arrays.asList(nums[i], nums[j], nums[k], nums[l]));
}
}
}
}
}
return ans;
}
复杂度分析：
- 时间复杂度：\(O(n^4)\)，其中 \(n\) 是数组 \(\textit{nums}\) 的长度。
- 空间复杂度：\(O(logn)\)， 空间复杂度主要取决于排序额外使用的空间 \(O(logn)\)。
方法二：双指针
思路与算法：
使用两重循环分别枚举前两个数，然后在两重循环枚举到的数之后使用双指针枚举剩下的两个数。
假设两重循环枚举到的前两个数分别位于下标 \(i\) 和 \(j\)，其中 \(i \lt j\)。初始时，左右指针分别指向下标 \(j + 1\) 和下标 \(n - 1\)。
每次计算四个数的和，并进行如下操作：
- 如果 \(sum == target\)，则将枚举到的四个数加到答案中，然后将左指针右移直到遇到不同的数，将右指针左移直到遇到不同的数；
- 如果 \(sum \lt target\)，则将左指针右移一位；
- 如果 \(sum \gt target\)，则将右指针左移一位。
使用双指针枚举剩下的两个数的时间复杂度是 \(O(n)\)，因此总时间复杂度是 \(O(n^3)\)。
具体实现时，还可以进行一些剪枝操作：
在确定第一个数之后，如果 \(nums[i]+nums[i+1]+nums[i+2]+nums[i+3] > \textit{target}\)，说明此时剩下的三个数无论取什么值，四数之和一定大于 \(\textit{target}\)，因此退出第一重循环；
在确定第一个数之后，如果 \(nums[i]+nums[n-3]+nums[n-2]+nums[n-1] < \textit{target}\)，说明此时剩下的三个数无论取什么值，四数之和一定小于 \(\textit{target}\)，因此第一重循环直接进入下一轮，枚举\(nums[i+1]\)；
在确定前两个数之后，如果 \(nums[i]+nums[j]+nums[j+1]+nums[j+2] >\textit{target}\)，说明此时剩下的两个数无论取什么值，四数之和一定大于 \(\textit{target}\)，因此退出第二重循环；
在确定前两个数之后，如果 \(nums[i]+nums[j]+nums[n-2]+nums[n-1] <\textit{target}\)，说明此时剩下的两个数无论取什么值，四数之和一定小于 \(\textit{target}\)，因此第二重循环直接进入下一轮，枚举 \(nums[j+1]\)。
需要注意的是：由于可能出现的溢出，对数据需要转换成 \(\texttt{long}\) 型。
代码如下所示：1
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64public static List<List<Integer>> fourSum(int[] nums, int target) {
if (nums == null || nums.length < 4) {
return new ArrayList<>();
}
Arrays.sort(nums);
int n = nums.length;
List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
for (int first = 0; first < n - 3; first++) {
if (first > 0 && nums[first] == nums[first - 1]) {
continue;
}
// 部分用例溢出，改成target减去形式
if (nums[first] + nums[first + 1] > target - nums[first + 3] - nums[first + 2]) {
break;
}
// 部分用例溢出，改成target减去形式
if (nums[first] + nums[n - 3] < target - nums[n - 1] - nums[n - 2]) {
continue;
}
for (int second = first + 1; second < n - 2; second++) {
if (second > first + 1 && nums[second] == nums[second - 1]) {
continue;
}
// 部分用例溢出，改成target减去形式
if (nums[first] + nums[second] > target - nums[second + 2] - nums[second + 1]) {
break;
}
// 部分用例溢出，改成target减去形式
if (nums[first] + nums[second] < target - nums[n - 1] - nums[n - 2]) {
continue;
}
int left = second + 1;
int right = n - 1;
while (left < right) {
// 防止溢出情况
long sum = (long) nums[first] + nums[second] + nums[left] + nums[right];
if (sum > target) {
right--;
} else if (sum < target) {
left++;
} else if (sum == target) {
ans.add(Arrays.asList(nums[first], nums[second], nums[left], nums[right]));
left++;
right--;
while (left < right && nums[left] == nums[left - 1]) {
left++;
}
while (left < right && nums[right] == nums[right + 1]) {
right--;
}
}
}
}
}
return ans;
}
复杂度分析：
- 时间复杂度：\(O(n^3)\)，其中 \(n\) 是数组的长度。排序的时间复杂度是 \(O(n\log n)\)，枚举四元组的时间复杂度是 \(O(n^3)\)，总时间复杂度为 \(O(n^3+n\log n)=O(n^3)\)。
- 空间复杂度：\(O(\log n)\)，其中 \(n\) 是数组的长度。 空间复杂度主要取决于排序额外使用的空间。此外排序修改了输入数组 \(\textit{nums}\)，实际情况中不一定允许，因此也可以看成使用了一个额外的数组存储了数组 \(\textit{nums}\) 的副本并排序，空间复杂度为 \(O(n)\)。
方法三：DFS
思路与算法：
这道题也可以使用回溯法，其实本质还是暴力法，主要问题就是参考暴力法进行剪枝。
可以使用 \(\texttt{Set}\) 来降低一个循环，这里也不写了，也很简单，大家参考代码看下思路就行。
代码如下所示：1
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45public List<List<Integer>> fourSum(int[] nums, int target) {
if (nums == null || nums.length < 4) {
return new ArrayList<>();
}
Arrays.sort(nums);
List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
dfs(nums, ans, new ArrayList<>(), 0, target);
return ans;
}
public void dfs(int[] nums, List<List<Integer>> res, List<Integer> list, int start, int target) {
if (list.size() == 4 && target == 0) {
res.add(new ArrayList<>(list));
return;
}
if (list.size() >= 4) {
return;
}
int len = nums.length;
for (int i = start; i < len; i++) {
if (len - i < 4 - list.size()) {
return;
}
if (i > start && nums[i] == nums[i - 1]) {
continue;
}
if (i < len - 1 && nums[i] + (long) (3 - list.size()) * nums[i + 1] > target) {
return;
}
if (i < len - 1 && nums[i] + (long) (3 - list.size()) * nums[len - 1] < target) {
continue;
}
list.add(nums[i]);
dfs(nums, res, list, i + 1, target - nums[i]);
list.remove(list.size() - 1);
}
}
复杂度分析：
- 时间复杂度：\(O(n^4)\)，其中 \(n\) 是数组的长度。排序的时间复杂度是 \(O(n\log n)\)，枚举四元组的时间复杂度是 \(O(n^4)\)，总时间复杂度为 \(O(n^4+n\log n)=O(n^4)\)。
- 空间复杂度：\(O(n)\)，其中 \(n\) 是数组的长度。
方法四：HashMap
思路与算法：
使用 \(\texttt{HashMap}\) 的话，和 15. 三数之和 一致，我们可以将复杂度降到 \(O(n^3)\)。
但可以更进一步，用空间换时间，降低枚举的复杂度，提升构建 \(\texttt{Hash}\) 的复杂度。
枚举前两个数 + 哈希后两个数，两个部分的时间复杂度都是 \(O(n^2)\)，从而使总体的时间复杂度降为 \(O(n^2)\)，但特殊情况下，如果数组元素都一致或者前后对称的话，时间复杂度还是 \(O(n^3)\)。
代码如下所示：1
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82public List<List<Integer>> fourSum(int[] nums, int target) {
if (nums == null || nums.length < 4) {
return new ArrayList<>();
}
Arrays.sort(nums);
int len = nums.length;
List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
Map<Integer, List<int[]>> map = new HashMap<>();
for (int j = len - 1; j > 2; j--) {
if (j < len - 1 && nums[j] == nums[j + 1]) {
continue;
}
if (nums[j] < target / 4) {
break;
}
if ((long) nums[j] + 3L * nums[0] > target) {
continue;
}
for (int i = j - 1; i > 1; i--) {
if (i < j - 1 && nums[i] == nums[i + 1]) {
continue;
}
if ((long) nums[j] + 3L * nums[i] < target) {
break;
}
if (nums[j] + nums[i] > target - 2 * nums[0]) {
continue;
}
int sum = nums[i] + nums[j];
List<int[]> list = map.getOrDefault(sum, new ArrayList<>());
list.add(new int[]{i, j});
map.put(sum, list);
}
}
for (int i = 0; i < len - 3; i++) {
if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1]) {
continue;
}
if (nums[i] > target / 4) {
break;
}
if ((long) nums[i] + 3L * nums[len - 1] < target) {
continue;
}
for (int j = i + 1; j < len - 2; j++) {
if (j > i + 1 && nums[j] == nums[j - 1]) {
continue;
}
if ((long) nums[i] + 3L * nums[j] > target) {
break;
}
if (2 * nums[len - 1] < target - nums[i] - nums[j]) {
continue;
}
int newTarget = target - nums[i] - nums[j];
if (map.containsKey(newTarget)) {
List<int[]> list = map.get(newTarget);
for (int[] index : list) {
if (j < index[0]) {
ans.add(Arrays.asList(nums[i], nums[j], nums[index[0]], nums[index[1]]));
}
}
}
}
}
return ans;
}
复杂度分析：
- 时间复杂度：\(O(n^3)\)，其中 \(n\) 是数组的长度。排序的时间复杂度是 \(O(n \log n)\)，两个数循环 \(O(n^2)\)，但由于需要枚举列表，极端情况下需要 \(O(n)\) ，所以总时间复杂度为 \(O(n^3 + n \log n) = O(n^3)\)。
- 空间复杂度：\(O(n)\)，排序额外使用的空间 \(O(\log n)\)，另外需要 \(O(n)\) 存储后面2个数之和，\(O(\log n)+O(n)=O(n)\)。
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