2024 阿里巴巴全球数学竞赛预选赛 试题解答
By Long Luo
阿里巴巴达摩院 从 2018 年开始每年都会举办一届全球数学竞赛,之前一方面自己数学水平比较弱,另外一方面也没有报名,但一直很仰慕那些数学大神的风采。今年是第一次报名参加 2024阿里巴巴全球数学竞赛 ,上周末参加了预选赛,但遗憾的是,全部 \(7\) 道题中只有第 \(1, 2, 6\) 题会做,这里分享下我的解答:
Problem 1
几位同学假期组成一个小组去某市旅游. 该市有 \(6\) 座塔,它们的位置分别为 \(A, B, C, D, E, F\) 。同学们自由行动一段时间后,每位同学都发现,自己在所在的位置只能看到位于 \(A, B, C, D\) 处的四座塔,而看不到位于 \(E\) 和 \(F\) 的塔。已知:
- 同学们的位置和塔的位置均视为同一平面上的点,且这些点彼此不重合;
- 塔中任意 \(3\) 点不共线;
- 看不到塔的唯一可能就是视线被其它的塔所阻挡,例如,如果某位同学所在的位置 \(P\) 和 \(A , B\) 共线,且 \(A\) 在线段 \(PB\) 上,那么该同学就看不到位于 \(B\) 处的塔。
请问 这个旅游小组最多可能有多少名同学?
\(A. 3\)
\(B. 4\) \(C. 6\) \(D. 12\)
Solution
这道题选 \(C\) ,最多只能有 \(C_{4}^{2} = 6\) 名同学。
[!TIP] 这道题的解题思路是,从只有 \(1\) 座塔开始,一直到 \(6\) 座塔,找到思路。
假设有 \(1\) 座塔 \(A\) ,那么很显然有无数多同学可以看到塔 \(A\) ,也可以有无数多同学看不到塔 \(A\) ;
假设有 \(2\) 座塔 \(A, B\) ,那么只有以 \(A\) 为起点的射线 \(AB\) 且位于 \(B\) 之后的同学无法看到塔 \(A\) ;
假设有 \(3\) 座塔 \(A, B, C\) ,同理可知存在无数位同学至少可以看见 \(2\) 座塔;
假设有 \(4\) 座塔 \(A, B, C, D\) ,同理可知存在无数位同学至少可以看见 \(2\) 座塔;
假设有 \(6\) 座塔 \(A, B, C, D, E, F\) ,如果每位同学都无法看见 \(E, F\) 塔,如下图1 所示:
所以至多有 \(6\) 位同学位于 \(M, N, O, P, R, Q\) 处,无法看到塔 \(E, F\) 。